Reflecting the vertex across EF

Soit $ABC$ un triangle de centre du cercle inscrit $I$, et soit $D$ un point quelconque du côté $[BC]$. La droite passant par $D$ et perpendiculaire à $(BI)$ coupe $(CI)$ en $E$. La droite passant par $D$ et perpendiculaire à $(CI)$ coupe $(BI)$ en $F$.

Montrer que le symétrique de $A$ par rapport à la droite $(EF)$ appartient à la droite $(BC)$.