Rearranging to bound a weighted sum

Soit $x_1, x_2, \dots, x_n$ des réels vérifiant les conditions \[ \begin{aligned} |x_1 + x_2 + \dots + x_n| &= 1, \\ |x_i| &\le \frac{n+1}{2} \quad \text{pour } i = 1, 2, \dots, n. \end{aligned} \] Montrer qu'il existe une permutation $y_1, y_2, \dots, y_n$ de $x_1, x_2, \dots, x_n$ telle que \[ |y_1 + 2y_2 + \dots + n y_n| \le \frac{n+1}{2}. \]