Lattice paths

On considère un quadrillage. Pour aller du point $A$ au point $B$ par un chemin de longueur minimale, on est uniquement autorisé à effectuer :

• un déplacement vers la droite, noté $D$ ;
• un déplacement vers le haut, noté $H$.

Voici un exemple de chemin comportant $4$ déplacements vers la droite et $3$ déplacements vers le haut.

À chaque chemin, on associe le mot formé par la suite de ses déplacements.

Dans l'exemple représenté, \[ \text{chemin} \longleftrightarrow DDHDHHD. \]

1. Combien de lettres $D$ et de lettres $H$ possède le mot associé au chemin représenté ?
2. Montrer qu'un chemin minimal de $A$ vers $B$ correspond à un unique mot contenant $4$ lettres $D$ et $3$ lettres $H$.
3. Réciproquement, montrer que tout mot contenant $4$ lettres $D$ et $3$ lettres $H$ définit un unique chemin minimal.
4. En déduire que le nombre de chemins représentés sur cette grille est \[ \binom{7}{4} = \binom{7}{3}. \]
5. On considère maintenant un quadrillage nécessitant $p$ déplacements vers la droite et $q$ déplacements vers le haut. Montrer que les chemins minimaux sont en bijection avec les mots de longueur $p + q$ contenant exactement $p$ lettres $D$.
6. En déduire que le nombre de chemins minimaux est \[ \binom{p+q}{p} = \binom{p+q}{q}. \]