\begin{enumerate}
\item \textbf{Une formule bien utile pour la suite.} 

En additionnant la somme \( S = 1 + 2 + 3 \) à elle-même, mais prise en ordre inverse, soit \( S = 3 + 2 + 1 \), et en posant l'opération comme suit,

\[\begin{array}{cccccc}
&1 & + & 2 & + & 3 \\
&3 & + & 2 & + & 1 \\
\hline
=&4 & + & 4 & + & 4 
\end{array}\]

on calcule \( S + S = 3 \times 4 \) et donc \( S = 6 \).

Plus généralement, prouver de cette manière que pour tout entier naturel non nul \( m \) :

\[1 + 2 + 3 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2}\]

\item {En déduire} que, pour tout entier naturel \( n \) et tout entier naturel non nul \( b \) :

\[(n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + \cdots + (n + b) = \frac{b(2n + b + 1)}{2}\]

Lorsque \( n \) est un entier au moins égal à 2, on dit que \( n \) est un \emph{nombre équilibré} si on peut trouver un entier \( b \) naturel non nul tel que

\[1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1) = (n + 1) + (n + 2) + \cdots + (n + b)\]

Dans ce cas, l'entier \( b \) est unique et s'appelle la \emph{balance} de l'entier \( n \).

Par exemple, 35 est un nombre équilibré, car :

\[1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 34 = 595\]

et

\[(35 + 1) + (35 + 2) + \cdots + (35 + 14) = 595\]

La balance de 35 est égale à 14.

\item \textbf{Quelques exemples}
\begin{enumerate}
    \item Montrer que 6 est un nombre équilibré et préciser sa balance.
    \item Montrer que 7 n'est pas un nombre équilibré.
    \item Montrer que 204 est un nombre équilibré de balance 84.
\end{enumerate}

\item \textbf{Lien entre nombres équilibrés et carrés parfaits.} On rappelle qu'un entier naturel \( c \) est un carré parfait s'il existe un entier \( e \) tel que \( c = e^2 \). Ainsi, \( 16 = 4^2 \) et \( 36 = 6^2 \) en sont, mais pas 17 ni 18. Soit \( n \) un entier au moins égal à 2.
\begin{enumerate}
    \item On suppose dans cette question que \( n \) est un nombre équilibré ; on note \( b \) sa balance.
    
    Montrer que \( n^2 - n = 2bn + b^2 + b \) puis que \( 8n^2 + 1 = (2n + 2b + 1)^2 \).
    
    \item On suppose dans cette question que \( 8n^2 + 1 \) est un carré parfait ; on note \( e \) l'entier \( \sqrt{8n^2 + 1} \).
    
    Montrer que \( e \) est impair puis que le réel \( b \) défini par \( b = \dfrac{-(2n+1) + e}{2} \) est un entier strictement positif.
    
    \item Conclure que \( n \) est un nombre équilibré si et seulement si \( 8n^2 + 1 \) est un carré parfait.
\end{enumerate}

\item \textbf{Une fonction génératrice.} On considère la fonction \( f \) définie sur \( \mathbb{R} \) par  
\[f(x) = 3x + \sqrt{8x^2 + 1}\]

\begin{enumerate}
    \item Vérifier que pour tout réel \( x \), on a :  
    \[8(f(x))^2 + 1 = (8x + 3\sqrt{8x^2 + 1})^2\]
    
    \item En déduire que si \( n \) est un nombre équilibré, alors \( f(n) \) l'est aussi.
    
    On pose \( u_1 = 6 \) et, pour tout entier \( k \geqslant 1 \), \( u_{k+1} = f(u_k) \).
    
    \item Montrer que \( (u_k)_{k \geqslant 1} \) est une suite strictement croissante de nombres équilibrés.
\end{enumerate}

\item \textbf{Générer en langage Python des nombres équilibrés.} 

Écrire une fonction \texttt{liste\_equilibres(n)} prenant en argument un entier \texttt{n} au moins égal à 2 et renvoyant la liste \texttt{[u\_1, u\_2, ..., u\_n]}. On rappelle que \texttt{[ ]} est la liste vide et que, étant donnés une liste \texttt{L} et un entier \texttt{i}, la commande \texttt{L.append(i)} ajoute l'élément \texttt{i} à la liste \texttt{L} en le plaçant à la fin. On utilisera l'instruction \texttt{sqrt()} pour coder la fonction racine carrée.

\end{enumerate}
