Trois fokontany, appelés $A$, $B$ et $C$, présentent chacun $4$ candidats
pour organiser une fête communale. Il y a donc $12$ candidats au total.

On souhaite former un comité de $5$ personnes.
\begin{enumerate}
  \item Combien de comités de $5$ personnes peut-on former sans aucune
  contrainte ?
  \item On exige désormais que chacun des trois fokontany soit représenté par
  au moins une personne.

  Combien de comités peut-on former ?

  \emph{Indication :} compter tous les comités, puis retirer ceux dans
  lesquels l'un des fokontany n'est pas représenté.
  \item Dans chaque comité satisfaisant la condition précédente, on désigne :
  \begin{itemize}
    \item un président ;
    \item un trésorier.
  \end{itemize}
  Le président et le trésorier doivent appartenir à deux fokontany
  différents.

  Combien d'organisations différentes peut-on former ?

  \emph{Indication :} on pourra commencer par choisir les fokontany du
  président et du trésorier, puis les personnes occupant ces fonctions, et
  enfin les trois autres membres du comité.
  \item Soa et Tovo sont deux candidats du fokontany $A$. À la suite d'un
  désaccord, ils refusent de siéger ensemble dans le même comité.

  Combien de comités de $5$ personnes peut-on former si :
  \begin{itemize}
    \item chacun des trois fokontany doit être représenté ;
    \item Soa et Tovo ne peuvent pas appartenir simultanément au comité ?
  \end{itemize}
  \item On impose maintenant simultanément toutes les contraintes suivantes :
  \begin{itemize}
    \item le comité contient $5$ personnes ;
    \item chacun des trois fokontany est représenté ;
    \item le président et le trésorier appartiennent à deux fokontany
    différents ;
    \item Soa et Tovo ne siègent pas ensemble.
  \end{itemize}
  Combien d'organisations différentes peut-on former ?

  \emph{Indication :} partir du résultat de la question 3 et retirer les
  organisations interdites contenant à la fois Soa et Tovo. Pour compter ces
  organisations interdites, distinguer plusieurs cas selon les fonctions
  éventuellement occupées par Soa et Tovo.
\end{enumerate}

\medskip
Réponses : $Q_1 = 792$, $Q_2 = 624$, $Q_3 = 9\,600$, $Q_4 = 544$,
$Q_5 = 8\,384$.
