Aires noires et blanches sur l’échiquier

Dans le plan, on considère un échiquier infini. Pour tout couple d'entiers strictement positifs $m$ et $n$, on considère un triangle rectangle dont les sommets sont des points à coordonnées entières et dont les côtés de l'angle droit, de longueurs $m$ et $n$, sont portés par des arêtes des cases. Soit $S_1$ l'aire totale de la partie noire du triangle et $S_2$ l'aire totale de la partie blanche. On pose $f(m,n) = |S_1 - S_2|$.

1. Calculer $f(m,n)$ pour tous les entiers strictement positifs $m$ et $n$ de même parité.
2. Montrer que $f(m,n) \le \frac{1}{2}\max\{m,n\}$ pour tous $m$ et $n$.
3. Montrer qu'il n'existe pas de constante $C$ telle que $f(m,n) < C$ pour tous $m$ et $n$.