Les droites ensoleillées

On dit qu'une droite du plan est ensoleillée lorsqu'elle n'est parallèle ni à l'axe des abscisses, ni à l'axe des ordonnées, ni à la droite d'équation $x + y = 0$.

Soit $n \geqslant 3$ un entier donné. Trouver tous les entiers $k \geqslant 0$ pour lesquels il existe $n$ droites du plan, deux à deux distinctes, telles que

• pour tous les entiers $a \geqslant 1$ et $b \geqslant 1$ tels que $a + b \leqslant n + 1$, le point de coordonnées $(a, b)$ appartient à au moins une de ces $n$ droites, et
• exactement $k$ de ces $n$ droites sont ensoleillées.