Partitionner 2n personnes en n binômes

On considère $2n$ personnes distinctes. On souhaite les répartir en $n$ binômes, sans distinguer :

• l'ordre des deux personnes à l'intérieur d'un binôme ;
• l'ordre dans lequel les binômes sont présentés.

Par exemple, avec six personnes, \[ \{\text{Soa}, \text{Tovo}, \text{Fara}, \text{Hery}, \text{Mamy}, \text{Voara}\}, \] une partition possible est \[ \{\{\text{Soa}, \text{Tovo}\}, \{\text{Fara}, \text{Hery}\}, \{\text{Mamy}, \text{Voara}\}\}. \] On numérote maintenant les personnes de $1$ à $2n$.

1. Pour $n = 2$, écrire toutes les façons de partager les quatre personnes $\{1, 2, 3, 4\}$ en deux binômes.
2. Pour $n = 3$, construire quelques partitions des six personnes $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ en trois binômes.
3. À une permutation $(a_1, a_2, \ldots, a_{2n})$, on associe les binômes consécutifs \[ \{a_1, a_2\}, \{a_3, a_4\}, \ldots, \{a_{2n-1}, a_{2n}\}. \] Expliquer pourquoi cette correspondance n'est pas encore une bijection.
4. Pour une partition fixée, expliquer pourquoi on peut :
   • échanger les deux personnes dans chacun des $n$ binômes de $2^n$ façons ;
   • permuter les $n$ binômes de $n!$ façons.
5. En déduire qu'une même partition est représentée par exactement \[ 2^n n! \] permutations.
6. Comme il existe $(2n)!$ permutations des $2n$ personnes, montrer que le nombre de partitions en $n$ binômes est \[ \frac{(2n)!}{2^n n!}. \]
7. Vérifier que, pour six personnes, le nombre de partitions en trois binômes est \[ \frac{6!}{2^3\, 3!} = 15. \]
8. On appelle $P_n$ le nombre de partitions de $2n$ personnes en $n$ binômes. Montrer également que \[ P_n = (2n - 1) P_{n-1}. \]
9. Expliquer cette dernière formule en choisissant d'abord le partenaire de la personne numéro $1$.