Pierres disposées en cercle

On dispose $2n$ tas de pierres sur un cercle. Leurs tailles sont \[ a_1, a_2, \ldots, a_{2n}. \] À chaque opération, on choisit deux tas voisins et on ajoute une pierre à chacun d'eux.

1. Montrer que la somme alternée \[ S = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots + a_{2n-1} - a_{2n} \] est invariante.
2. On part de $(1, 0, 0, \ldots, 0)$.

   Peut-on obtenir une configuration dans laquelle tous les tas ont la même taille ?

3. Même question si l'on part de $(1, 1, 0, \ldots, 0)$.

   L'invariant suffit-il à conclure ?