Seeking balance: numbers on a wire (variant)

En additionnant la somme \( S = 1 + 2 + 3 \) à elle-même, mais prise en ordre inverse, soit \( S = 3 + 2 + 1 \), et en posant l'opération comme suit,

\[\begin{array}{cccccc} &1 & + & 2 & + & 3 \\ &3 & + & 2 & + & 1 \\ \hline =&4 & + & 4 & + & 4 \end{array}\]

on calcule \( S + S = 3 \times 4 \) et donc \( S = 6 \).

Plus généralement, prouver de cette manière que pour tout entier naturel non nul \( m \) :

\[1 + 2 + 3 + \cdots + m = \frac{m(m + 1)}{2}\]

\[(n + 1) + (n + 2) + (n + 3) + \cdots + (n + b) = \frac{b(2n + b + 1)}{2}\]

Lorsque \( n \) est un entier au moins égal à 2, on dit que \( n \) est un nombre équilibré si on peut trouver un entier \( b \) naturel non nul tel que

\[1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1) = (n + 1) + (n + 2) + \cdots + (n + b)\]

Dans ce cas, l'entier \( b \) est unique et s'appelle la balance de l'entier \( n \).

Par exemple, 35 est un nombre équilibré, car :

\[1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + 34 = 595\]

et

\[(35 + 1) + (35 + 2) + \cdots + (35 + 14) = 595\]

La balance de 35 est égale à 14.

1. Montrer que 6 est un nombre équilibré et préciser sa balance.
2. Montrer que 7 n'est pas un nombre équilibré.
3. Montrer que 204 est un nombre équilibré de balance 84.

1. On suppose dans cette question que \( n \) est un nombre équilibré ; on note \( b \) sa balance.

   Montrer que \( n^2 - n = 2bn + b^2 + b \) puis que \( 8n^2 + 1 = (2n + 2b + 1)^2 \).

2. On suppose dans cette question que \( 8n^2 + 1 \) est un carré parfait ; on note \( e \) l'entier \( \sqrt{8n^2 + 1} \).

   Montrer que \( e \) est impair puis que le réel \( b \) défini par \( b = \dfrac{-(2n+1) + e}{2} \) est un entier strictement positif.

3. Conclure que \( n \) est un nombre équilibré si et seulement si \( 8n^2 + 1 \) est un carré parfait.

1. Vérifier que pour tout réel \( x \), on a : \[8(f(x))^2 + 1 = (8x + 3\sqrt{8x^2 + 1})^2\]

2. En déduire que si \( n \) est un nombre équilibré, alors \( f(n) \) l'est aussi.

   On pose \( u_1 = 6 \) et, pour tout entier \( k \geqslant 1 \), \( u_{k+1} = f(u_k) \).

3. Montrer que \( (u_k)_{k \geqslant 1} \) est une suite strictement croissante de nombres équilibrés.

Écrire une fonction liste\_equilibres(n) prenant en argument un entier n au moins égal à 2 et renvoyant la liste [u\_1, u\_2, ..., u\_n]. On rappelle que [ ] est la liste vide et que, étant donnés une liste L et un entier i, la commande L.append(i) ajoute l'élément i à la liste L en le plaçant à la fin. On utilisera l'instruction sqrt() pour coder la fonction racine carrée.