Hauteur dans un demi-cercle

Soit $\Gamma$ un cercle de diamètre $[AB]$ et soit $C$ un point de $\Gamma$ distinct de $A$ et de $B$. On note $H$ le pied de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.

1. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.
2. Montrer que \[ CH^2 = AH \cdot HB. \]
3. En déduire une construction à la règle et au compas d'un segment de longueur $\sqrt{xy}$ à partir de deux segments de longueurs $x$ et $y$ données.