Les fonctions « balaises »

Soit $\N_{\geqslant 1}$ l'ensemble des entiers strictement positifs. On dit qu'une fonction $f \colon \N_{\geqslant 1} \to \N_{\geqslant 1}$ est balaise si \[ f(a) \ \text{divise} \ b^a - f(b)^{f(a)} \] pour tous les entiers $a \geqslant 1$ et $b \geqslant 1$.

Trouver le plus petit nombre réel $c$ tel que $f(n) \leqslant cn$ pour toute fonction $f$ balaise et tout entier $n \geqslant 1$.