La somme des cubes

On étudie la formule \[ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3 \ \stackrel{?}{=}\ \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2}. \]

• Calculez la somme pour $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ et comparez avec $\left( \dfrac{n(n+1)}{2} \right)^{2}$.
• Ces quelques vérifications constituent-elles une démonstration ?
• Proposez, si possible, un raisonnement général (par récurrence ou par décomposition algébrique) pour prouver (ou infirmer) la formule.