Racines et entiers premiers entre eux

Soient $x_1, x_2$ les racines de l'équation $x^2 + px - 1 = 0$, où $p$ est un entier impair. On définit $y_n = x_1^n + x_2^n$ pour tout $n \geq 0$. Montrer que $y_n$ et $y_{n+1}$ sont des entiers premiers entre eux.

1. Calculez $y_0$, $y_1$, puis $\mathrm{pgcd}(y_0, y_1)$.
2. Établissez la relation $y_{n+2} = -p\, y_{n+1} + y_n$.
3. Déduire que $\mathrm{pgcd}(y_n, y_{n+1}) = 1$ pour tout $n \geq 0$.