Pavage par carrés 2 × 2

On considère un damier $6 \times 6$. On retire les quatre cases \[ (1, 1), \quad (1, 3), \quad (3, 1), \quad (3, 3), \] où $(i, j)$ désigne la case située sur la ligne $i$ et la colonne $j$.

On souhaite paver les $32$ cases restantes avec des carrés $2 \times 2$.

1. Colorier les cases avec quatre couleurs selon les parités de $i$ et de $j$.
2. Montrer que tout carré $2 \times 2$ recouvre exactement une case de chaque couleur.
3. Vérifier que les quatre cases retirées ont la même couleur.
4. En déduire que le pavage est impossible.