Le taquin de quinze pièces

Un taquin est constitué de $15$ pièces numérotées et d'une case vide, disposées dans une grille $4 \times 4$.

Une opération consiste à déplacer dans la case vide une pièce voisine horizontalement ou verticalement.

On part de la configuration ordonnée \[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & \square \end{array} \] Peut-on atteindre la configuration \[ \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & 10 & 11 & 12 \\ 13 & 15 & 14 & \square \end{array} \ ? \] Indications :

• chaque déplacement échange la case vide et une pièce ;
• colorier la grille comme un échiquier ;
• si la case vide revient à sa position initiale, le nombre de déplacements est pair ;
• comparer la parité de la permutation des $16$ objets.